已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，关于x的方程f（x）=m在区间[12，3]内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a=0时，关于x的方程f（x）=m在区间[

1

2

，3]内有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[

1

e

，e]上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f'（x）=lnx+1，∴k=f'（1）=1，f（1）=0，…（3分）
∴所求的切线方程为y=x-1．…（4分）
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=xlnx-x，f′（x）=lnx+1-1=lnx…（5分）
∴由

f′(x)＞0

1

2

≤x≤3

?

lnx＞0

1

2

≤x≤3

?1＜x≤3，

f′(x)＜0

1

2

≤x≤3

?

1

2

≤x＜1，…（6分）
故可列表：

x

1

2

(

1

2

，1)

1

（1，3）

3

y′

-

0

+

y

-

1

2

ln2-

1

2

↘

-1

↗

3ln3-3

∵-

1

2

ln2-

1

2

＜0＜3ln3-3…（9分）
∴关于x的方程f（x）=m在区间[

1

2

，3]内有两个不相等的实数根时-1＜m≤-

1

2

ln2-

1

2

； …（10分）
（Ⅲ） f'（x）=lnx+a（x＞0），由f'（x）=0得x=e^-a．…（11分）
①当e-a＜

1

e

，即a＞1时，f'（x）＞0，f（x）在[

1

e

，e]上为增函数，
f(x)min=f(

1

e

)=

a-2

e

； …（12分）
②当

1

e

≤e-a≤e，即-1≤a≤1时，在[

1

e

，e-a]上f'（x）＜0，f（x）为减函数，
在[e^-a，e]上f'（x）＞0，f（x）为增函数，f(x)min=f(e-a)=-e-a； …（13分）
③当e^-a＞e，即a＜-1时，f'（x）＜0，f（x）在[

1

e

，e]上为减函数，f（x）_min=f（e）=ea．
综上所述，f(x)min=

a-2

e

， a＞1

-e-a， -1≤a≤1

ea ， a＜-1

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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