过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线，则实数a的取值范围是_____

1、试题题目：过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线，则实数a的取值范围是_____..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，则实数a的取值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设切点坐标为（x₀，x₀³+2x₀²+a），而切线的斜率k=y′=3x₀²+4x₀，
所以切线方程为：y-（x₀³+2x₀²+a）=（3x₀²+4x₀）（x-x₀），
把原点（0，0）代入得：2x₀³+2x₀²-a，
所以过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，方程2x₀³+2x₀²-a=0有三个不同的实数解，
设h（x）=2x³+2x²-a，所以令h′（x）=6x²+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-

2

3

，
则x，h′（x），h（x）的变化如下图：

x

（-∞，-

2

3

）

-

2

3

（-

2

3

，0）

0

（0，+∞）

h'（x）

+

0

-

0

+

h（x）

↑

极大值

↓

极小值

↑

根据图形可知：h（x）_极大值=h（-

2

3

）=

8

27

-a，h（x）_极小值=h（0）=-a，
根据题意

h(-

2

3

)＞0

h(0)＜0

，即

8

27

-a＞0

-a＜0

，解得：0＜a＜

8

27

，
则实数a的取值范围是（0，

8

27

）．
故答案为：（0，

8

27

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过原点向曲线y=x3+2x2+a可作三条切线，则实数a的取值范围是_____..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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