设f（x）=（x2+ax+a）e-x，x∈R．（Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0；（II）证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=（x2+ax+a）e-x，x∈R．（Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0；（I..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设f（x）=（x²+ax+a）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0；
（ II）证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由于f（x）=（x²+ax+a）e^-x，所以f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]．…（2分）
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
当a=2时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值．
所以2-a≠0．
①当2-a＞0，即a＜2时，f'（x）和f（x）2的变化情况如下表1：

x	（-∞，0）	0	（0，2-a）	2-a	（2-a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

此时应有f（0）=0，所以a=0＜2；
②当2-a＜0，即a＞2时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表2：

x	（-∞，2-a）	2-a	（2-a，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

此时应有f（2-a）=0，即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，所以应有（2-a）²+a（2-a）+a=0?a=4＞2．
综上可知，当a=0或4时，f（x）的极小值为0．…（6分）
（ II）若a＜2，则由表1可知，应有f（2-a）=3，也就是[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=3，即（4-a）e^a-2=3．
设g（a）=（4-a）e^a-2，则g'（a）=-e^a-2+（4-a）e^a-2=e^a-2（3-a）．
由于a＜2得 g'（a）＞0，从而有g（a）＜g（2）=2＜3．
所以方程（4-a）e^a-2=3无解．…（8分）
若a＞2，则由表2可知，应有f（0）=3，即a=3．…（10分）
综上可知，当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=（x2+ax+a）e-x，x∈R．（Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0；（I..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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