已知函数f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，f(x)≥2e2恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，f(x)≥

2

e2

恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-e^xx²，f（1）=-e．
f^′（x）=-（x²+2x）e^x，则k=f^′（1）=-3e．
∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，得：a≥

1

5

．
f^′（x）=e^x（ax²+2ax+a+1）=e^x[a（x+1）²+1]．
∵a≥

1

5

，∴f^′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增，
要使f(x)≥

2

e2

恒成立，则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥

2

e2

，解得a≥

1

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex（ax2+a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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