已知函数f（x）=x3-3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

试题来源：潮州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=3x²-3，f'（2）=9，f（2）=2³-3×2=2（2分）
∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0（4分）
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x₀，y₀）
则y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
则切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀）（6分）
将A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根、（8分）
记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、（10分）
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2、（12分）
由题意有，当且仅当

g(0)＞0

g(1)＜0

，即

m+3＞0

m+2＜0

，-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（-3，-2）（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（2）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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