设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f‘（x）满足f‘（1）=2a，f‘（2）=-b，其中常数a，b∈R．（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）设g（x）=f′（x）e-x．求函数g（x）的极值．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f‘（x）满足f‘（1）=2a，f‘（2）=-b，其中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）=2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R．
（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（II）设g（x）=f′（x）e^-x．求函数g（x）的极值．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵f（x）=x³+ax²+bx+1∴f'（x）=3x²+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=-3
令x=2，得f'（2）=12+4a+b=-b，因此12+4a+b=-b，解得a=-

3

2

，因此f（x）=x^3-3
2x²-3x+1
∴f（1）=-

5

2

，
又∵f'（1）=2×（-

3

2

）=-3，
故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y-（-

5

2

）=-3（x-1），即6x+2y-1=0．

（II）由（I）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x
从而有g'（x）=（-3x²+9x）e^-x
令g'（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x²-3x-3）e^-x在x=0时取极小值g（0）=-3，在x=3时取极大值g（3）=15e^-3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f‘（x）满足f‘（1）=2a，f‘（2）=-b，其中..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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