已知函数f（x）=12x2-2x+2，g(x)=loga1x(a＞0，且a≠1)，函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内是增函数，且h′（x）义域内存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．（I）求a的值；（II）设A（x1，y1），B（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2-2x+2，g(x)=loga1x(a＞0，且a≠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x2-2x+2，g(x)=loga

1

x

(a＞0，且a≠1)，函数h（x）=f（x）-g（x）在定义域内是增函数，且h′（x）义域内存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（I）求a的值；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

(g′(x)为g(x)的导函数)，试比较x₁与x₀的大小，并说明理由．

试题来源：大连一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为h（x）=

1

2

x2-2x+log_ax+2（x＞0），
所以h′（x）=x-2+

1

xlna

=

1

x

(x2-2x+

1

lna

)，
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以

1

x

(x2-2x+

1

lna

)≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即x2-2x+

1

lna

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
所以△≤0，
又h′（x）存在正零点，故△≥0，
所以△=0，即4-

4

lna

=0，所以lna=1，
所以a=e．
（II）结论x₀＞x₁，理由如下：
由（I），g′（x₀）=-

1

x0lna

=-

1

x0

，
由g′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

得，x0=

x2-x1

lnx2-lnx1

，
x₁-x₀=x₁-

x2-x1

lnx2-lnx1

=

x1lnx2-x1lnx1-x2+x1

lnx2-lnx1

，
∵x₁＜x₂，∴lnx₂-lnx₁＞0，
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x，
r′（x）=lnx₂-lnx在（0，x₂]上，r′（x）＞0，
所以r（x）在（0，x₂]上为增函数，
当x₁＜x₂时，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
从而x₀＞x₁得到证明．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2-2x+2，g(x)=loga1x(a＞0，且a≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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