已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
则函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因为x＞1，
也就是k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立．
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，则g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x₀时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+inx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0
[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0∈(3，4)．
所以k＜[g（x）]_min=x₀因为x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+xlnx．（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：