已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnxx-1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

alnx

x+1

+

b

x

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞

lnx

x-1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=

a(

x+1

x

- lnx)

(x+1)2

-

b

x2

．
由于直线x+2y-3=0的斜率为-

1

2

，且过点（1，1）
所以

b=1

a

2

-b

=-

1

2

解得a=1，b=1
（II）由（I）知f（x）=

lnx

x+1

+

1

x

所以f(x)-

lnx

x-1

=

1

1-x2

(2lnx-

x2-1

x

)
考虑函数h(x)=2lnx-

x2-1

x

(x＞0)，
则h′(x)=

2

x

-

2x2-(x2-1)

x2

=-

(x-1)2

x2

所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，
当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得

1

1-x2

h(x)＞0；
当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，可得

1

1-x2

h(x)＞0
从而当x＞0且x≠1时，
f(x)-

lnx

x-1

＞0即f(x)＞

lnx

x-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnxx+1+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：