已知点M（x1，f（x1））是函数f（x）=1x，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l．（1）求切线l的方程；（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知点M（x1，f（x1））是函数f（x）=1x，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知点M（x₁，f（x₁））是函数f（x）=

1

x

，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=-

1

x2

，
∴k=f′（x₁）=-

1

x

21

．
∴切线方程为y-

1

x1

=-

1

x

21

（x-x₁），即y=-

1

x

21

x+

2

x1

；
（2）在y=-

1

x

21

x+

2

x1

中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=

2

x1

，∴B(0，

2

x1

)．
∴△AOB的周长m=2x₁+

2

x1

+

(2x1)2+(

2

x1

)2

．
∴m=2(x1+

1

x1

+

x

21

+

1

x

21

)，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+

1

x1

，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴当t=2，即x₁=1时，m_最小=2（2+

2

）．
故△AOB周长的最小值是2（2+

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点M（x1，f（x1））是函数f（x）=1x，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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