已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤4．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f'（x）=3ax²+2bx-3，
∵函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，
∴f'（1）=f'（-1）=0…（3分）
即3a+2b-3=3a-2b-3=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x…（6分）
（2）证明：∵f（x）=x³-3x
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数 …（9分）
f（x）_max=f（-1）=2，
f（x）_min=f（1）=-2…（11分）
∴对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|
≤|f（x）_max-f（x）_min|
=2-（-2）=4…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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