设函数f（x）=ln|x|-x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、x2为函数f（x）的两个极值点，且x1+x2=-12，试求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x0，f（x0））（x0为-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ln|x|-x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，且x1+x2=-

1

2

，试求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）设函数f（x）在点C（x₀，f（x₀））（x₀为非零常数）处的切线为l，若函数f（x）图象上的点都不在直线l的上方，试探求x₀的取值范围．

试题来源：泉州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数f（x）=ln|x|-x²+ax的定义域为{x|x∈R，x≠0}．
当x＞0时，f（x）=lnx-x²+ax，∴f′(x)=

1

x

-2x+a； …（1分）
当x＜0时，f（x）=ln（-x）-x²+ax，∴f′(x)=

1

x

-2x+a； …（3分）
综上可得 f′(x)=

1

x

-2x+a(x≠0)．…（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，x₁、x₂为函数f（x）的两个极值点，
∴x₁、x₂为方程-2x²+ax+1=0的两根，所以x1+x2=

a

2

，
又∵x1+x2=-

1

2

，∴a=-1．…（5分）
此时，f′(x)=

-2x2-x+1

x

=

-(2x-1)(x+1)

x

，
由f'（x）≥0得

(2x-1)(x+1)

x

≤0，
当x＞0时，(2x-1)(x+1)≤0，-1≤x＜

1

2

，此时0＜x≤

1

2

；
当x＜0时，（2x-1）（x+1）≥0，∴x≤-1或x≥

1

2

，此时x≤-1．
∴当f'（x）≥0时，x≤-1或0＜x≤

1

2

．…（7分）
当f'（x）≤0时，同理解得-1≤x＜0或x≥

1

2

．…（8分）
综上可知a=-1满足题意，且函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]和(0，

1

2

]．…（9分）
（Ⅲ）∵f′(x0)=

1

x0

-2x0+a，又C(x0，ln|x0|-x02+ax0)，
∴切线l的方程为y-(ln|x0|-x02+ax0)=(

1

x0

-2x0+a)(x-x0)，
即y=(

1

x0

-2x0+a)x-1+x02+ln|x0|（x₀为常数）．…（10分）
令g(x)=f(x)-((

1

x0

-2x0+a)x-1+x02+ln|x0|)=ln|x|-x2-((

1

x0

-2x0)x-1+x02+ln|x0|)，g′(x)=

1

x

-2x-(

1

x0

-2x0)=-(x-x0)(

2xx0+1

xx0

)=-

2(x-x0)(x+

1

2x0

)

x

，（11分）
当x₀＞0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：

x

(-∞，-

1

2x0

)

-

1

2x0

(-

1

2x0

，0)

（0，x₀）

x₀

（x₀，+∞）

g'（x）

+

0

-

+

0

-

g（x）

↗

极大值

↘

↗

极大值

↘

当x₀＜0时，x、g'（x）、g（x）的关系如下表：

x

（-∞，x₀）

x₀

（x₀，0）

(0，-

1

2x0

)

-

1

2x0

(-

1

2x0

，+∞)

g'（x）

+

0

-

+

0

-

g（x）

↗

极大值

↘

↗

极大值

↘

函数f（x）=ln|x|-x²+ax的图象恒在直线l的下方或直线l上，
等价于g（x）≤0对x≠0恒成立．
∴只需g（x₀）≤0和g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0同时成立．…（12分）
∵g（x₀）=0，∴只需g(-

1

2x0

)=ln

1

2x02

+

1

4x02

-x02≤0．
下面研究函数m(x)=lnx+

x

2

-

1

2x

(x＞0)，
∵m′(x)=

1

x

+

1

2

+

1

2

?

1

x2

=

(x+1)2

2x2

＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，
注意到m（1）=0，∴当且仅当0＜x≤1时，m（x）≤0．…（13分）
∴当且仅当0＜

1

2x02

≤1时，g(-

1

2x0

)≤0，
由0＜

1

2x02

≤1解得x0≥

2

或x0≤-

2

．
∴x₀的取值范围是(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ln|x|-x2+ax．（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若x1、..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：