设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+1(0＜a＜1)，（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤g（x）≤a成立，试确定实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+1(0＜a＜1)，（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+1(0＜a＜1)，
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤g（x）≤a成立，试确定实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，（7分）
g（x）=x²+4ax-3a²=-（x-3a）（x-a）
①当0＜a＜

1

3

时，1-a＞2a，∴g（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减
∴[g(x)]max=g(1-a)=-8a2+6a-1，且[g（x）]_min=g（1+a）=2a-1
∵恒有-a≤g（x）≤a成立
∵

-8a2+6a-1≤a

2a-1≥-a

又0＜a＜

1

3

，此时，a∈?…（10分）
②当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即

1

3

＜a＜1，[g（x）]_max=g（2a）=a²．
∵-a≤g（x）≤a，∴

f′(1+a)≥-a
f′(1-a)≥-a

f′(2a)≤a

，即

2a-1≥-a
-8a2+6a-1≥-a

a2≤a

∴

0≤a≤1

a≥

1

3

7-

17

16

≤a≤

7+

17

16

∴

1

3

≤a≤

7+

17

16

．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为

1

3

≤a≤

7+

17

16

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=-13x3+2ax2-3a2x+1(0＜a＜1)，（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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