已知直线l：y=kx，圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．（I）当b=1时，求k的值；（II）若k＞3时，求b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=kx，圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=kx，圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（I）当b=1时，求k的值；
（II）若k＞3时，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵C：x²+y²-2x-2y+1=0∴b=1时，点M（0，1）在圆上．又MP⊥MQ，圆心（1，1）在直线直线l：y=kx上，故k=1
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立方程组，

y=kx

x2+y2-2x-2y+1=0.

?（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，?x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

．
∵MP⊥MQ∴

MP

?

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴(1+k2)

1

1+k2

-kb

2(1+k)

1+k2

+b2=0.
当b=0时，此式不成立，
从而b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

=2+

2(k-1)

(k-1)2+2(k-1)+2

.．
又∵k＞3，令t=k-1＞2，∴b+

1

b

=2+

2

t+

2

t

+2

.
令函数g(t)=t+

2

t

+2，当t＞2时，g′(t)=1-

2

t2

＞0，g（t）＞5，从而2＜b+

1

b

＜

12

5

.
解此不等式，可得

6-

11

5

＜b＜1或1＜b＜

6+

11

5

.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=kx，圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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