已知函数f（x）=ax+x-2x+1（a＞1）（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+x-2x+1（a＞1）（1）证明：函数f（x）在（-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）=a^x+1-

3

x+1

，
而函数 y=a^x（a＞1）和函数y=-

3

x+1

在（-1，+∞）上都为增函数，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
（2）假设f（x）=0有负数根为x=x₀，且x₀＜0，则有f（x₀）=0，故有ax0+1=

3

x0+1

①．
由于函数y=a^x+1在R上式增函数，且a⁰+1=2，∴ax0+1＜2．
由于函数y=

3

x+1

在（-1，+∞）上是减函数，当x₀∈（-1，0）时，

3

0+1

=3，∴

3

x0+1

＞3，
∴①根本不可能成立，故①矛盾．
由于由于函数y=

3

x+1

在（-∞，-1）上是增函数，当x₀∈（-∞，-1）时，

3

x0+1

＜0，
而，ax0+1＞1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．
综上可得，①根本不可能成立，故假设不成立，故f（x）=0没有负数根．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+x-2x+1（a＞1）（1）证明：函数f（x）在（-..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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