设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．（1）求f(12)的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求方程4sinx=f（x-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求f(

1

2

)的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求方程4sinx=f（x）的根的个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令m=2，n=

1

2

，则f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=f(1)-f(2)=-1（4分）

（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f(

x2

x1

)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数（10分）

（3）∵y=4sinx的图象如右图所示
魔方格

又f（4）=f（2×2）=2，f（16）=f（4×4）=4
由y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且f（1）=0，f（16）=4可得y=f（x）的图象大致形状如右图所示，
由图象在[0，2π]内有1个交点，
在（2π，4π]内有2个交点，
在（4π，5π]内有2个交点，又5π＜16＜6π，
后面y=f（x）的图象均在y=4sinx图象的上方．
故方程4sinx=f（x）的根的个数为5个（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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