已知函数f（x）=x2t-2t（x2+x）+x2+2t2+1，g（x）=12f（x）．（I）证明：当t＜22时，g（x）在R上是增函数；（Ⅱ）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2t-2t（x2+x）+x2+2t2+1，g（x）=12f（x）．（I）证明：当t＜..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x^2t-2t（x²+x）+x²+2t²+1，g（x）=

1

2

f（x）．
（I）证明：当t＜2

2

时，g（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；
（Ⅲ）证明：f（x）≥

3

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：由题设易得g（x）=e^2x-t（e^x-1）+x，g'（x）=2e^2x-te^x+1．又2ex+e-x≥2

2

，且t＜2

2

得t＜2e^x+e^-x，
te^x＜2e^2x+1，即g'（x）=2e^2x-te^x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．
（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e^2x-te^x+1＜0，即t＞2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e^x+e^-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．
（III）设F（t）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，即F(t)=2(t-

ex+x

2

)2+

1

2

(ex-x)2+1
易F(t)≥

1

2

(ex-x)2+1，令H（x）=e^x-x，则H'（x）=e^x-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以

1

2

(ex-x)2+1≥

3

2

于是对任意的x，t，都有F(t)≥

3

2

，即f(x)≥

3

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2t-2t（x2+x）+x2+2t2+1，g（x）=12f（x）．（I）证明：当t＜..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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