已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cosA-B2i+52sinA+B2j的长度为|a|=324，其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．（1）求证：tanA?tanB是定值；（2）求tan（A+B）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cosA-B2i+52sinA+B2j的长..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-08 07:30:00

试题原文

已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cos

A-B

2

i+

5

2

sin

A+B

2

j的长度为|a|=

3

2

4

，其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．
（1）求证：tanA?tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意i²=1，j²=1，i?j=0，
则|a|2=i2cos2

A-B

2

+

5

4

j2sin2

A+B

2

+

2

i?jcos

A-B

2

sin

A+B

2

=cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

1+cos(A-B)

2

+

5

4

?

1-cos(A+B)

2

而|a|=

3

2

4

，则

1+cos(A-B)

2

+

5

4

?

1-cos(A+B)

2

=

9

8

即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，

sinAsinB

cosAcosB

=

1

9

，即tanAtanB=

1

9

．
（2）由tanAtanB=

1

9

＞0，且A，B，C是△ABC的三个内角，
知tanA＞0，tanB＞0，
则tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

tanA+tanB

1-

1

9

=

9

8

(tanA+tanB)≥

9

8

×2

tanAtanB

=

9

8

×2×

1

9

=

3

4

，
当且仅当tanA=tanB=

1

3

时，tan（A+B）的最小值为

3

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cosA-B2i+52sinA+B2j的长..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：