椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为12．点P（1，32）、A、B在椭圆E上，且PA+PB=mOP（m∈R）；（Ⅰ）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；（Ⅱ）求证：当△PAB的面积取得最大值时，原-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为12．点P（1，32）、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

．点P（1，

3

2

）、A、B在椭圆E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）；
（Ⅰ）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的倾斜角与斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得a²=4，b²=3，…（1分）
椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1； …（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=m

OP

得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），
即

x1+x2=2+m

y1+y2=3+

3

2

m

…（3分）
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
两式相减得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+

3

2

m

=-

1

2

；…（5分）
（Ⅱ）证明：设AB的方程为 y=-

1

2

x+t，
代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，…（6分）
△=3（4-t²），|AB|=

1+

1

4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，
点P到直线AB的距离为d=

|4-2t|

5

，
S_△PAB=

3

2

|2-t|

4-t2

=

1

2

3(2-t)3(2+t)

（-2＜t＜2）． …（8分）
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
则f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
当-2＜t＜-1时，f’（t）＞0，
当-1＜t＜2时f’（t）＜0，
所以当t=-1时，f（t）有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是

9

2

； …（10分）
根据韦达定理得 x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3m

2

+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为12．点P（1，32）、..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的倾斜角与斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的倾斜角与斜率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：