已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为23，离心率为33，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2

3

，离心率为

3

，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的倾斜角与斜率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

：（1）由题意可得

2a=2

3

e=

c

a

=

3

a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1，b=

2

所以椭圆E：

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=

a2

c

=3，
设P（3，y₀），Q（x₁，y₁），
因为PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

2

?

y1

x1-1

=

y0y1

2(x1-1)

=-1，
所以-y₁y₀=2（x₁-1）
又因为kPQ?kOQ=

y1

x1

?

y1-y0

x1-3

=

y

21

-y1y0

x

21

-3x1

且

y

21

=2(1-

x

21

3

)代入化简得kPQ?kOQ=-

2

3

．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-

2

3

．
（3）由（2）知，kPQ?kOQ=-

2

3

，kOQ=

y1

x1

，
∴kPQ=-

2x1

3y1

．
∴直线PQ的方程为y-y1=-

2x1

3y1

(x-x1)，即y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

，
联立

x2

3

+

y2

2

=1

y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

得(3

y

21

+2

x

21

)x2-12x1x+18-9

y

21

=0，
∵3

y

21

+2

x

21

=6，18-9

y

21

=6

x

21

．
∴化简得：x2-2x1x+

x

21

=0，又△=0，
解得x=x₁，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的倾斜角与斜率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的倾斜角与斜率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：