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1、试题题目：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn=
a2n
+an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 设正数数列{cn}满足an+1=(cn)n+1，(n∈N*)，求数列{cn}中的最大项；
（Ⅲ） 求证：Tn=
1
a41
+
1
a42
+
1
a43
+…+
1
a4n
＜
11
10
．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）由已知：对于n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+
a2n-1
(n≥2)②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）∵an，an-1均为正数，∴an-an-1=1（n≥2），
∴数列{an}是公差为1的等差数列，又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1．
∴an=n．
（Ⅱ）解法一：由已知cn＞0，a2=c12=2?c1=
2
，
a3=
c32
=3?c2=
33
，同理，c4=
2
，c5=
55
．
易得　c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，{cn}是递减数列．
令f(x)=
lnx
x
，则f′(x)=
1
x
?x-lnx
x2
=
1-lnx
x2

∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0．
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=cnn+1知lncn=
ln(n+1)
n+1
．
∴n≥2时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，∴数列{cn}中的最大项为c2=
33
．
解法二：猜测数列{cn}中的最大项为c2=
33
．c1＜c2＞c3易直接验证；
以下用数学归纳法证明n≥3时，nn+1＞（n+1）n
（1）当n=3时，nn+1=81＞64=（n+1）n，所以n=3时不等式成立；
（2）假设n=k（k≥3）时不等式成立，即kk+1＞（k+1）k，即(
k+1
k
)k＜k，
当n=k+1时，(
k+2
k+1
)k+1=(
k+2
k+1
)(
k+2
k+1
)k＜(
k+2
k+1
)(
k+1
k
)k＜(
k+2
k+1
)k＜k+1，
所以（k+1）k+2＞（k+2）k+1，即n=k+1时不等式成立．
由（1）（2）知nn+1＞（n+1）n对一切不小于3的正整数都成立．
（3）解法一：当n≥4时，由基本不等式的性质可得n3+16≥2
16n3
=8n
n
≥16n，
当n=2
32
时，取前一个等号，显然取不到，因此：n3+16＞16n，∴n4＞16n（n-1）．
Tn＜1+
1
16
+
1
81
+
1
16
[
1
3?4
+
1
4?5
+…+
1
n(n-1)
]
=1+
1
16
+
1
81
+
1
16
(
1
3
-
1
n
)＜
11
10

解法二：n≥2时，
1
n4
＜
1
n2(n-1)2
=
1
2n-1
[
1
(n-1)2
-
1
n2
]，
Tn＜1+
1
16
+
1
81
+
1
7
(
1
32
-
1
42
)+
1
9
(
1
42
-
1
52
)+…+
1
2n-1
[
1
(n-1)2
-
1
n2
]
＜1+
1
16
+
1
81
+
1
7
[(
1
32
-
1
42
)+(
1
42
-
1
52
)+…
1
(n-1)2
-
1
n2
]
＜1+
1
16
+
1
81
+
1
63
＜
11
10
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有2Sn..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。


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