已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，数列{bn}满足：bn=2an+1，前n项和为Tn，设Cn=T2n+1-Tn．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有Cn＜1621成立，若存在，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，数列{bn}满足：bn=2an+1，前n项..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=n2+1，数列{b_n}满足：bn=

2

an+1

，前n项和为T_n，设C_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有Cn＜

16

21

成立，若存在，求自然数k的最小值．若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a₁=2，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴bn=

2

3

，(n=1)

1

n

，(n＞1)

（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵Cn+1-Cn=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

=

1

2n+3

-

1

2n+2

＜0
∴数列{C_n}是单调递减数列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
当n=1时，C1=

1

2

+

1

3

=

5

6

＞

16

21

当n=2时，C2=

1

3

+

1

4

+

1

5

=

47

60

＞

16

21

当n=3时，C3=

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

=

319

420

＜

320

420

=

16

21

当n≥3时，Cn≤C3＜

16

21

故，k_min=3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+1，数列{bn}满足：bn=2an+1，前n项..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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