已知数列{an}的各项均为正数，且满足a2=5，an+1=an2-2nan+2，(n∈N*)．（1）推测{an}的通项公式；（2）若bn=2n-1，令cn=an+bn，求数列cn的前n项和Tn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的各项均为正数，且满足a2=5，an+1=an2-2nan+2，(n∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的各项均为正数，且满足a₂=5，an+1=an2-2nan+2，(n∈N*)．
（1）推测{a_n}的通项公式；
（2）若bn=2n-1，令c_n=a_n+b_n，求数列c_n的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a₂=5，a_n+1=a_n²-2na_n+2，a_n＞0（n∈N*）知：
a₂=a₁²-2a₁+2，故 a₁=3，
a₃=a₂²-4a₂+2=7，
推测a_n=2n+1．（n∈N*）①；
（2）由（1）知，cn=an+bn=(2n+1)+2n-1．
T_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+（a₃+b₃）+…+（a_n+b_n）
=（a₁+a₂+a₃…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=[3+5+7+…+（2n+1）]+（1+2+4+…+2^n-1）
=

n[3+(2n+1)]

2

+

1?(1-2n)

1-2

=（n²+2n）+（2ⁿ-1）=2ⁿ+n²+2n-1．
所以数列{c_n}的前n项和T_n为2ⁿ+n²+2n-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的各项均为正数，且满足a2=5，an+1=an2-2nan+2，(n∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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