若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a1=3．（1）求证：数列{lgbn}是等比数列；（2）设Tn=b1b2b3…bn，求满足Tn≥1128的n的集合M；（3）设cn=2bnbn-1，{cn}的-数学试题及答案

1、试题题目：若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

若数列{a_n}和{b_n}满足关系：an=

1+bn

1-bn

，an+1=

1

2

(an+

1

an

)n∈N^*，a₁=3．
（1）求证：数列{lgb_n}是等比数列；
（2）设T_n=b₁b₂b₃…b_n，求满足Tn≥

1

128

的n的集合M；
（3）设cn=

2

bn

bn-1

，{c_n}的前n项和为S_n，试探索a_n与S_n之间的关系式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵an=

1+bn

1-bn

∴an+1=

1+bn+1

1-bn-1

由an+1=

1

2

(an+

1

an

)，得

1+bn+1

1-bn+1

=

1

2

(

1+bn

1-bn

+

1-bn

1+bn

)=

1+

b

2n

1-

b

2n

，
∴bn+1=

b

2n

，即lgb_n+1=2lgb_n，
又

1+b1

1-b1

=a1=3，b1=

1

2

，lgb₁=-lg2≠0，
所以数列{lgb_n}是等比数列，首项-lg2，公比2；
（2）由（1）得：lgbn=(-lg2)?2n-1?bn=(

1

2

)2n-1，Tn=b1b2…bn=(

1

2

)1+2+…+2n-1=(

1

2

)2n-1≥

1

128

?2n-1≤7
∴2ⁿ≤8，即n≤3，又因为n∈N^*∴M={1，2，3}；
（3）因为an=

1+bn

1-bn

，所以an=

1+(

1

2

)2n-1

1-(

1

2

)2n-1

=

22n-1+1

22n-1-1

=1+

2

(22n-2+1)(22n-2-1)

=1+

1

22n-2-1

-

1

22n-2+1

同理an-1═

22n-2+1

22n-2-1

=1+

2

22n-2-1

，则an-an-1=

2?22n-2

1-22n-1

，又cn=

2

bn

1-bn

=

2?22n-2

1-22n-1

∴a_n-a_n-1=c_n（n≥2），
∴a_n-a₁=s_n-c₁，
∵a1=3，c1=-2

2

∴an=Sn+3+2

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若数列{an}和{bn}满足关系：an=1+bn1-bn，an+1=12(an+1an)n∈N*，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：