已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2-（2n+1）an（n≥1）．（1）求证：数列{ann}是等比数列；（2）设数列{2nan}的前n项和为Tn，An=1T1+1T2+1T3+…+1Tn．试比较An与2nan的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2-（2n+1）an（n≥1）．（1）求证：数列{a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n≥1）．
（1）求证：数列{

an

n

}是等比数列；
（2）设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，A_n=

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．试比较A_n与

2

nan

的大小．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=

1

2

，
由S_n=2-（

2

n

+1）a_n得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
于是a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，
整理得

an

n

=

1

2

×

an-1

n-1

（n≥2），
所以数列{

an

n

}是首项及公比均为

1

2

的等比数列．
（2）由（Ⅰ）得

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
A_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

又

2

nan

=

2n+1

n2

，问题转化为比较

2n+1

n2

与

2n

n+1

的大小，即

2n

n2

与

n

n+1

的大小．
设f（n）=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

．
∵f（n+1）-f（n）=

2n[n(n-2)-1]

[n(n+1)]2

，当n≥3时，f（n+1）-f（n）＞0，
∴当n≥3时f（n）单调递增，
∴当n≥4时，f（n）≥f（4）=1，而g（n）＜1，∴当n≥4时f（n）＞g（n），
经检验n=1，2，3时，仍有f（n）≥g（n），
因此，对任意正整数n，都有f（n）＞g（n），
即A_n＜

2

nan

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2-（2n+1）an（n≥1）．（1）求证：数列{a..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：