若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1），且cn=an?bnn，求数列{cn}的通项及其-数学试题及答案

1、试题题目：若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

若数列{a_n}的前n项和S_n是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=

an?bn

n

，求数列{c_n}的通项及其前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），
两式相减得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．
当n=1时，a₁=S₁=2，
∴a_n=

2 n=1

2n-1 n≥2

．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1），
∴b_n-b_n-1=2n-3
b_n-1-b_n-2=2n-5
…
b₄-b₃=5
b₃-b₂=3
b₂-b₁=1，
以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）
=

(n-1)(1+2n+3)

2

=（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．
∴cn=

-2，n=1

(n-2)×2n-1，n≥2

．
∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，
∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ．
∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ=

2(1-2n-1)

1-2

-(n-2)×2n
=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ．
∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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