已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），令bn=1anan+1（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令Tn=b1+b2?2+b3?22+…bn?2n-1，求证：①对于任意正整数n，都-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令bn=

1

anan+1

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=b₁+b₂?2+b₃?2²+…b_n?2^n-1，
求证：①对于任意正整数n，都有Tn＜

1

6

．②对于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1，n≥3．…（3分）
检验知n=1，2时，结论也成立
故a_n=2ⁿ+1．…（4分）
（Ⅱ） ①由于bn?2n-1=

1

(2 n+1)(2n+1 +1)

?2n-1
=

1

2

?

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2 n+1

-

1

2n+1+1

)．
故T_n=b₁+b₂?2+b₃?2²+…+b_n?2^n-1
=

1

2

(

1

1+2

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)
＜

1

2

-

1

1+2

=

1

6

．…（9分）
②若T_n＞m，其中m∈(0，

1

6

)，则有

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞m，
则2n+1＞

3

1-6m

-1，
故n＞log2(

3

1-6m

-1)-1＞0，
取n0=[log2(

3

1-6m

-1)-1]+1
=[log2(

3

1-6m

-1)]（其中[x]表示不超过x的最大整数），
则当n＞n₀时，T_n＞m．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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