已知数列{an}满足a1=a（a＞2），an+1=2+an，n∈N*．（1）求证：an+1＜an；（2）若a=322，且数列{bn}满足an=bn+1bn，bn＞1，求证：数列{lgbn}是等比数列，并求数列{an}的通项式；（3）若a=20-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=a（a＞2），an+1=2+an，n∈N*．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞2），a_n+1=

2+an

，n∈N^*．
（1）求证：a_n+1＜a_n；
（2）若a=

3

2

，且数列{b_n}满足a_n=b_n+

1

bn

，b_n＞1，求证：数列{lgb_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项式；
（3）若a=2011，求证：当n≥12时，2＜a_n＜2+

1

2011

恒成立．（参考数据2¹⁰=1024）

试题来源：江苏二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）an+1-an=

2+an

-

2+an-1

=

an-an-1

2+an

+

2+an-1

（n≥2），
上式表明a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号，
∴a_n+1-a_n，a_n-a_n-1，a_n-1-a_n-2，…，a₂-a₁同号，
∵a＞2，
∴a²-a-2=（a-2）（a+1）＞0，
∴a²＞a+2，
∴a2=

a+2

＜a，a₂-a₁＜0．
∴a_n+1-a_n＜0，
故a_n+1＜a_n．
（2）∵an+1=bn+1+

1

bn+1

=

2+an

=

2+bn+

1

bn

，
bn+12+

1

bn+1 2

=bn+

1

bn

，
bn+14-(bn+

1

bn

)bn+1 2+1=0，
注意到b_n＞1，
f(x)=x+

1

x

（x＞0），f′(x)=1-

1

x2

＞0，
∴f（x）在x＞1时为增函数，而f（bn+12）=f（b_n），
∴bn+12=bn，
∴2lgb_n+1=lgb_n，
∴

lgbn+1

lgbn

=

1

2

，
∴数列{lgb_n}是等比数列，
当a1=b1+

1

b1

=

3

2

，b1=

2

，lgb1=lg

2

，
lgbn=(

1

2

)n-1?lg

2

=(

1

2

)n?lg2，
∴bn=2(

1

2

)n，
an=bn+

1

bn

=2(

1

2

)n+2-(

1

2

)n．
（3）∵当n≥2时，an-2=

2+an-1

-2=

an-1-2

2+an-1

+2

，
上式表明：a_n-2与a_n-1-2同号，对一切n≥2成立，
∴a_n-2，a_n-1-2，…，a₂-2，a₁-2同号，
而a₁-2＞0，
∴a_n-2＞0，a_n-1-2＞0，
∵n≥2时，an-2=

an-1-2

2+an-1+2

＜

an-1-2

2+2

+2

=

an-1-2

4

，
∴

an-2

an-1-2

＜

1

4

，
∴

an-2

an-1-2

?

an-1-2

an-2-2

…

a3-2

a2-2

?

a2-2

a1-2

=

an-2

a1-2

＜(

1

4

)n-1，
∴0＜an-2＜(a1-2)?(

1

4

)n-1，
当a₁=2011，n=12时，
a12-2=(2011-2)×(

1

4

)12-1=

2009

222

＜

211

222

=

1

2 11

＜

1

2011

，
∴a12＜2+

1

2011

，
∵a_n＞a_n+1，
∴当n≥12时，2＜a_n＜2+

1

2011

恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=a（a＞2），an+1=2+an，n∈N*．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：