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1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+n-1，n为奇数an-2n，n为偶数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=
an
2
+n-1，n为奇数
an-2n     ，n为偶数
，记bn=a2n（n∈N*），Sn为数列{bn}的前n项和．
（Ⅰ）证明数列{bn}为等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+sn-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令cn=
(n+1)(
5
11
)n
bn
，证明：cn≤
1010
119
（n∈N*）．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等比数列的通项公式



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）因为bn=a2n，由已知可得，
bn+1=a2(n+1)=a(2n+1)+1=
a2n+1
2
+(2n+1)-1
=
a2n+1
2
+2n=
a2n-4n
2
+2n=
1
2
a2n=
1
2
bn．
又a1=1，则b1=a2=
1
2
a1=
1
2
．
所以数列bn是首项和公比都为
1
2
的等比数列，
故bn=
1
2
?(
1
2
)n-1=(
1
2
)n．
∴数列{bn}为等比数列，并求其通项公式为：bn=(
1
2
)n，n∈N*．
（Ⅱ）因为1+Sn-1=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
=2-
1
2n-1
＜2（n≥2）．
若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+Sn-1恒成立，
则λ≥2，故λ的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）因为cn=
(n+1)(
5
11
)n
bn
=(n+1)(
10
11
)n，则
cn+1-cn=(n+2)(
10
11
)n+1-(n+1)(
10
11
)n=(
10
11
)n[(n+2)
10
11
-(n+1)]=(
10
11
)n ?
9-n
11
．
当n＜9时，cn+1-cn＞0，即cn＜cn+1；
当n=9时，cn+1-cn=0，即cn=cn+1；
当n＞9时，cn+1-cn＜0，即cn＞cn+1．
所以数列cn的最大项是c9或c10，
且c9=c10=
1010
119
，故cn≤
1010
119
．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+n-1，n为奇数an-2n，n为偶数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。


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