已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=1(log2an)2，求证：对任意正整数-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

1

(log2an)2

，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2；
（Ⅲ）在正数数列{c_n}中，设(cn)n+1=

n+1

2n+1

an+1(n∈N*)，求数列{lnc_n}中的最大项

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2.（n≥2，n∈N^*）
即数列{a_n}是等比数列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn=

1

(log2an)2

=

1

n2

.（6分）
∴Tn=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

≤1+

1

1?2

+

1

2?3

+…+

1

(n-1)n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜2（9分）
（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=

n+1

2n+1

a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=

ln(n-1)

n+1

令f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1

x

?x-1nx

x2

=

1-lnx

x2

.
∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）
∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．
又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2=

1

3

ln3.（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：