已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n?2n，记所有可能的乘积aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn．（1）求{an}的通项公式；（2）求Tn的表达式；（3）求证：n-14＜T1T2+T2T3+T3T4+…+TnTn+1＜-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n?2n，记所有可能的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n?2ⁿ，记所有可能的乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求T_n的表达式；
（3）求证：

n-1

4

＜

T1

T2

+

T2

T3

+

T3

T4

+…+

Tn

Tn+1

＜

n

4

．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n?2ⁿ，
∴

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

=n，
当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，

a1

2

+

a2

22

+

a3

23

+…+

an

2n

=n，

a1

2

+

a2

2 2

+

a3

23

+…+

an-1

2n-1

=n-1，
两式相减，得

an

2n

=1，
∴an=2n．
（2）∵a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n，
∴T_n=a₁a₁+（a₁a₂+a₂a₂）+（a₁a₃+a₂a₃+a₃a₃）+…+（a₁a_n+a₂a_n+a₃a_n+…+a_na_n）
=（2³-2²）+（2⁵-2³）+（2⁷-2⁴）+…+（2²ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹）
=

23-22n+3

1-4

-（2ⁿ⁺²-4）
=

4

3

(2n+1-1)(2n-1)．
（3）∵

Tn

Tn+1

=

4

3

(2n+1-1)(2n-1)

4

3

(2n+2-1)(2n+1-1)

=

2n-1

2n+2-1

=

2n-1

4(2n-1)+3

＜

1

4

，
∴

T1

T2

+

T2

T3

+

T3

T4

+…+

Tn

Tn+1

＜

1

4

+

1

4

+

1

4

+…+

1

4

=

n

4

，
∵

Tn

Tn+1

=

2n-1

2n+2-1

=

1

4

-

3

4

?

1

2n+2-1

=

1

4

-

3

4

?

1

3?2n+2n-1

＞

1

4

-

3

4

?

1

3?2n

=

1

4

-

1

2 n+2

，
∴

T1

T2

+

T2

T3

+

T3

T4

+…+

Tn

Tn+1

＞（

1

4

-

1

2 3

）+（

1

4

-

1

2 4

）+…+（

1

4

-

1

2 n+2

）
=

n

4

-(

1

2 3

+

1

2 4

+… +

1

2 n+2

)
=

n

4

-(

1

4

-

1

2 n+2

)＞

n-1

4

，
∴

n-1

4

＜

T1

T2

+

T2

T3

+

T3

T4

+…+

Tn

Tn+1

＜

n

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n?2n，记所有可能的..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：