已知：数列{an}前n项和为Sn，an+Sn=n，数列{bn}中b1=a1，bn+1=an+1-an，（1）写出数列{an}的前四项；（2）猜想数列{an}的通项公式，并加以证明；（3）求数列{bn}的通项公式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：数列{an}前n项和为Sn，an+Sn=n，数列{bn}中b1=a1，bn+1=an+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

已知：数列{a_n}前n项和为S_n，a_n+S_n=n，数列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求数列{b_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1时，a1=

1

2

n=2时，a₂+S₂=2，∴a2=

3

4

n=3时，a₃+S₃=3，∴a3=

7

8

n=4时，a₄+S₄=4，∴a4=

15

16

；…（2分）
（2）猜想：an=1-

1

2n

，下面用数学归纳法证明：…（3分）
①当n=1时，a1=1-

1

21

=

1

2

，猜想成立；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=1-

1

2k

，
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-

1

2k

，
即2ak+1=2-

1

2k

，∴ak+1=1-

1

2k+1

，即当n=k+1时猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*时an=1-

1

2n

都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴bn=an-an-1=

1

2n

（n≥2），
∵b1=a1=

1

2

，∴bn=

1

2n

（n∈N^*）．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：数列{an}前n项和为Sn，an+Sn=n，数列{bn}中b1=a1，bn+1=an+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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