设各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设bn=log2an．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若c1=1，cn+1=cn+bnan，求证：cn＜3．-数学试题及答案

1、试题题目：设各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设bn=log2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-10 07:30:00

试题原文

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．设b_n=log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c₁=1，cn+1=cn+

bn

an

，求证：c_n＜3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则

a1+a1q2=10 ①

a1q2+a1q4=40②

，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n=a1qn-1=2×2n-1=2ⁿ，则b_n=log2an=log22n=n；
（2）证明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n=

bn

an

=

n

2n

，
当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

③，
∴

1

2

c_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

④，
③-④得：

1

2

cn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n-1

2n

=1+

1

4

(1-

1

2n-2

)

1-

1

2

-

n-1

2n

=1+

1

2

-

1

2n-1

-

n-1

2n

．
∴cn=3-

1

2n-2

-

n-1

2n-1

＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设bn=log2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的通项公式”。

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