如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2，CD=1．（1）证明：MN∥平面PCD；（2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A-PB-D的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-29 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=

2

，CD=1．
（1）证明：MN∥平面PCD；
（2）证明：MC⊥BD；
（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：空间中直线与直线的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，
由已知M，N分别是PA，BC的中点，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（3分）

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如图，以D为坐标原点，
射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系（4分）
则D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，1，0）C（0，1，0），P（0，0，

2

）（6分）
所以M（

2

，0，

2

），

BD

=(-

2

，-1，0)，

MC

=(-

2

，1，-

2

)（7分）
∵

MC

?

BD

=0，所以MC⊥BD（8分）

（3）因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE，
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，（9分）
由已知E(

2

，0，0)，
所以平面PBD的法向量

EC

=(-

2

，1，0)（10分）
M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，
所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，（11分）
所以平面PAB的法向量

MD=

（-

2

，0，-

2

）
设二面角A-PB-D的平面角为θ，
则cosθ=

EC

?

MD

|

EC

||

MD

|

=

6

．
所以，二面角A-PB-D的余弦值为

6

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中..”的主要目的是检查您对于考点“高中空间中直线与直线的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中空间中直线与直线的位置关系”。

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