如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=5a，EF=6a．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，-数学试题及答案

1、试题题目：如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-29 07:30:00

试题原文

如图，

AEC

是半径为a的半圆，AC为直径，点E为

AC

的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=

5

a，EF=

6

a．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，FQ=

2

3

FE，FR=

2

3

FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

试题来源：广东试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：空间中直线与直线的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：连接CF，因为

AEC

是半径为a的半圆，AC为直径，点E为

AC

的中点，所以EB⊥AC．
在RT△BCE中，EC=

BC2+BE2

=

a2+a2

=

2

a．
在△BDF中，BF=DF=

5

a，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．
在△CEF中，CE2+CF2=(

2

a)2+(2a)2=6a2=EF2，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．
因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，
而EB?平面BED，∴CF⊥EB．
因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，
而FD?平面BDF，∴EB⊥FD．
（2）设平面BED与平面RQD的交线为DG．
由FQ=

2

3

FE，FR=

2

3

FB，知QR∥EB．
而EB?平面BDE，∴QR∥平面BDE，
而平面BDE∩平面RQD=DG，
∴QR∥DG∥EB．
由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，
而DR，DB?平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，
∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt△BCF中，CF=

BF2-BC2

=

(

5

a)2-a2

=2a，sin∠RBD=

FC

BF

=

2a

5

a

=

2

5

，cos∠RBD=

1-sin2∠RBD

=

1

5

．
在△BDR中，由FR=

2

3

FB知，BR=

1

3

FB=

5

a

3

，
由余弦定理得，RD=

BD2+BR2-2BD?BRcos∠RBD

=

(2a)2+(

5

a

3

)2-2?2a?

5

a

3

?

1

5

=

29

3

a
由正弦定理得，

BR

sin∠RDB

=

RD

sin∠RBD

，即

5

3

a

sin∠RDB

=

29

3

a

2

5

，sin∠RDB=

2

29

．
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为

2

29

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为..”的主要目的是检查您对于考点“高中空间中直线与直线的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中空间中直线与直线的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：