发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-20 07:30:00
抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的负半轴上,过点M(0,-2)作直线l与抛物线C交于A,B两点,且满足=(-4,-12)。(1)求直线l和抛物线C的方程;(2)当抛物线C上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP的面积的最大值; (3)在抛物线C上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,请说明理由。
解:(1)由题意可设所求直线l的方程为y=kx-2,所求抛物线的方程为,由,消去y得:,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则, ∴∵,∴,解得,故直线l的方程为y=2x-2,抛物线的方程为x2=-2y;(2)据题意,当抛物线过点P的切线m与直线l平行时,△ABP的面积最大,此时切线m的方程为y=2x+b,由消去y,整理得:, ∵,∴b=2,m的方程为y=2x+2,即y=2x+2,此时点P到直线l的距离为,
由消去y得:故,所以△ABP的最大面积为=;(3)在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点,假设在抛物线C存在相异两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l对称,则直线AB的方程为由,消去y得:,,于是可得AB的中点M的坐标为(),又点M在直线l上,所以,即,AB的方程为,而此时△=7>0,即直线AB与抛物线C有两个相异公共点, 综上所述,在抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点。
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴的负半轴上,过点M(0,-2)作..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与抛物线的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中直线与抛物线的应用”。