如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。（1）求椭圆的标准方程；（2）若点E（0，1），问是否存在直-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）连接AC，依题意设椭圆的标准方程为

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=5
∴CA+CB=5+3=2a，a=4
又2c=4，
∴c=2，从而b=

，
∴椭圆的标准方程为

。
（2）由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|=|NE|，当l与x轴平行时，|ME|=|NE|显然成立，此时k=0
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）
由

消去y得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
∵Δ=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-48）>0，
∴16k²+12>m²，①
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为F（x₀，y₀）
则

∵|ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴k_EF×k=-1
即

化简得m=-（4k²+3），
结合①得16k²+12>（4k²+3）²，
即16k⁴+8k²-3＜0，
解之得

（k≠0）
综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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