已知：a，b∈R+，n＞1，n∈N*，求证：an+bn2≥(a+b2)n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：a，b∈R+，n＞1，n∈N*，求证：an+bn2≥(a+b2)n．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知：a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，求证：

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）当n=2时，左边-右边=

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=(

a-b

2

)2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，即

ak+bk

2

≥(

a+b

2

)k．（4分）
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
当n=k+1时，(

a+b

2

)k+1=(

a+b

2

)k?

a+b

2

≤

ak+1+bk+1

2

?

a+b

2

=

ak+1+bk+1+akb+abk

4

≤

ak+1+bk+1+ak+1+bk+1

4

=

ak+1+bk+1

2

．
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a，b∈R⁺，n＞1，n∈N^*，不等式

an+bn

2

≥(

a+b

2

)n总成立（11分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：a，b∈R+，n＞1，n∈N*，求证：an+bn2≥(a+b2)n．..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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