在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{an}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较an与-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=2，
∴a₂=λa₁+λ²+2（2-λ）=λ²+4，
同理可得，a₃=2λ³+8，
a₄=3λ⁴+16，
猜想a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（Ⅱ）假设数列{a_n}是等比数列，
则a₁，a₂，a₃也成等比数列，
∴a₂²=a₁?a₃?（λ²+4）²=2（2λ³+8）?λ⁴-4λ³+8λ²=0，
∵λ≠0，∴λ²-4λ+8=0，即（λ-2）²+4=0，
但（λ-2）²+4＞0，矛盾，∴数列{a_n}不是等比数列．
（Ⅲ）∵λ=1，∴a_n=（n+1）+2ⁿ，
∴a_n-（n²+1）=2ⁿ-（n²-n+2），
∵当n=1，2，3时，2ⁿ=n²-n+2，
∴a_n=n²+1．
当n≥4时，猜想2ⁿ＞n²-n+2，
证明如下：当n=4时，显然2^k＞k²-4+2
假设当n=k≥4时，猜想成立，即2^k＞k²-k+2，
则当n=k+1时，2^k+1=2?2^k＞2（k²-k+2），
∵2（k²-k+2）-[（k+1）²⁰-（k+1）+2]
=（k-1）（k-2）＞0
∴2^k+1＞2（k²-k+2）＞（k+1）²-（k+1）+2，
∴当n≥4时，猜想2ⁿ＞n²-n+2成立，
∴当n≥4时，a_n＞n²+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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