各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．（Ⅰ）求数列{an}的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤

2n-1

对一切n∈N⁺恒成立．

试题来源：石家庄二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴a_n²为首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，则an=

2n-1

（Ⅱ）只需证：1+

1

3

+…+

1

2n-1

≤

2n-1

．
1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．
当n=2时，左边＜右边，所以命题成立
②假设n=k时命题成立，即1+

1

3

+…+

1

2k

-1

≤

2k-1

，
当n=k+1时，左边=1+

1

3

+…+

1

2K-1

+

1

2K+1

≤

2K-1

+

1

2K+1

．
＜

2K-1

+

2

2K+1

+

2K-1

=

2K-1

+

2(

2K+1

-

2K-1

)

2

=

2(K+1)-1

．命题成立
由①②可知，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≤

2n-1

对一切n∈N⁺恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．（Ⅰ）求数列{an}的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：