发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-01 07:30:00
试题原文 |
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解:(Ⅰ)先用数学归纳法证明0<an<1,n∈N*. (1)当n=1时,由已知得结论成立; (2)假设当n=k时,结论成立,即0<ak<1.则 当n=k+1时, ∵0<x<1时,f'(x)=1﹣=>0, ∴f(x)在(0,1)上是增函数. 又∵f(x)在[0,1]上连续, ∴f(0)<f(ak)<f(1),即0<a k+1<1<1﹣ln2<1. 故当n=k+1时,结论也成立. 即0<an<1对于一切正整数都成立. 又由0<an<1,得a n+1﹣an=an﹣ln(1+an)﹣an=﹣ln(1+an)<0, 从而a n+1<an. 综上可知0<a n+1<an<1。 (Ⅱ)构造函数g(x)=﹣f(x)=,0<x<1, 由g’(x)=>0,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[0,1]上连续, ∴g(x)>g(0)=0. ∵0<an<1, ∴g(an)>0,即﹣f(an)>0,从而a n+1< (Ⅲ)∵b1=,b n+1≥(n+1)bn, ∴bn>0,, ∴bn=,① 由(Ⅱ)a n+1< 知:, ∴=, ∵a1=,n≥2,0<a n+1<an<1 ∴an<<<= .② 由①②两式可知:bn>ann!. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=x﹣ln(1+x),数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an);数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数学归纳法”。