数列{an}满足a1=1，且，（Ⅰ）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…。-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=1，且，（Ⅰ）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；（Ⅱ）已知..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=1，且

，
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…。

试题来源：模拟题试题题型：证明题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：（1 ）当n=2时，

，不等式成立；
（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即

，
那么

，
这就是说，当n=k+1时不等式成立；
根据（1）、（2）可知：

对所有n≥2成立；
（Ⅱ）证明：由递推公式及（Ⅰ）的结论
有

，
两边取对数并利用已知不等式得

，
故

，
上式从1到n-1求和可得

，
即

，故

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=1，且，（Ⅰ）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；（Ⅱ）已知..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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