已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-nan-1（n≥2，n∈N*）．（I）探究数列{bn2n}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{bn}的通项公式；（II）求数列{nan}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-na..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列{

bn

2n

}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵b_n+1=2b_n-2ⁿ，∴b_n+1-2b_n=-2ⁿ，∴

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=-

1

2

．
∴数列{

bn

2n

}构成以

1

2

为首项，以-

1

2

为公差的等差数列，∴

bn

2n

=

1

2

-

1

2

（n-1），
∴b_n=2n(1-

n

2

）．
（II）∵b_n=a_n-na_n-1，∴a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（ a_n-1-2^n-1 ），
∴

an- 2n

an-1-2n-1

=n，
∴

an- 2n

a1-2

=

an- 2n

an-1-2n-1

?

an-1-2n-1

an-2-2n-2

?

an-2-2n-2

an-3-2n-3

…

a2-22

a1-2

=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a₁=3，故 a_n=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2ⁿ，
na_n=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2ⁿ=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，
∴s_n=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ，①则 2T_n=1×2²+2×2³+…+n 2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-T_n=2+2²+2³+…-n 2ⁿ⁺¹，∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴s_n=（n+1）!+（n-1）2ⁿ⁺¹+1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-na..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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