当n∈N*时，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．-数学试题及答案

1、试题题目：当n∈N*时，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

当n∈N^*时，Sn=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵当n∈N^*时，Sn=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
∴S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

=

7

12

，T₁=

1

1+1

=

1

2

，T₂=

1

2+1

+

1

2+2

=

7

12

（2分）
（II）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S₁=T₁（6分）
②假设n=k时，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2k-1

-

1

2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

（8分）
则：S_k+1=S_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

=T_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（10分）
=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（11分）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+（

1

k+1

-

1

2(k+1)

）
=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

=T_k+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“当n∈N*时，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；（Ⅱ..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：