已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，an+1an)(n∈N+)在曲线C上，并有a1=1，an+1an-anan-1=1(n≥2)（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；（2）求-数学试题及答案

1、试题题目：已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，

an+1

an

)(n∈N+)在曲线C上，并有a₁=1，

an+1

an

-

an

an-1

=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=

an

(n+2)!

，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜

1

2

．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k²+kb+b=-1即k²+kb+b+1=0①（2分）
又f-1(x)=

x

k

-

b

k

是曲线C的解析式．
∵点(n，

an+1

an

)在曲线C上，
∴f-1(n)-f-1(n-1)=

an+1

an

-

an

an-1

=1
又∵f-1(n)-f-1(n-1)=

1

k

故

1

k

=1，∴k=1，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）

（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故

an+1

an

=n+1，而a₁=1，
于是an=

an

an-1

?

an-1

an-2

a2

a1

?a1=n?(n-1)3?2?1=n!（10分）

（3）∵bn=

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+2)(n+1)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴S_n=b₁+b₂++b_n=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

＜

1

2

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：