在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1）-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，-1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，-1）且不平行于y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l₁的斜率k的取值范围。

试题来源：广东省高考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）如图，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q， ∵ ∴ ∴，即另一种情况（如图2），即点M和A位于OP的同侧因为MQ为线段OP的垂直平分线 ∴ 又∵ ∴ 因此M在x轴上，此时，记M（x，0），设P（-2，a）为l上任意点（a∈R）由即得 ∴点M（x，0）的轨迹方程为y=0，x≤-1② 综合①②得，点M的轨迹E的方程为；
（2）由（1）知，轨迹E的方程由E₁和E₂两部分组成当时，过T做垂直于L的直线，垂足为T′，交E₁于点再过H做垂直于L的直线，交l于H ∴ ∴（该等号仅当H′与T′重合（或H与D重合）时取得）当时，则综合可得的最小值为3，此时点H；
（3）由图3可知，直线l₁的斜率k不可能为0 设 ∴，代入E₁的方程得 ∴ ∴l₁与E中的E₁有且仅有两个不同的交点又由E₂和l₁的方程可知，若l₁与E₂有交点则此交点的坐标为，且，即当时l₁与E₂有唯一交点从上可知l₁与E有三个不同的交点 ∴直线l₁斜率k的取值范围是。