已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点。(Ⅰ)写出抛物线C2的标准方程；(Ⅱ)若，求直线l的-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F(1，0)，C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点。
(Ⅰ)写出抛物线C₂的标准方程；
(Ⅱ)若

，求直线l的方程；
(Ⅲ)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值。

试题来源：北京期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(Ⅰ)由题意，抛物线C₂的方程为：y²=4x。
(Ⅱ)设直线AB的方程为：y=k（x-4）(k存在且k≠0)，
联立

，消去x，得ky²-4y-16k=0，
显然△=16+64k²＞0，
设A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)，则

， ①
y₁·y₂=-16， ②
又

，所以，

，③
由①②③消去y₁，y₂，得k²=2，
故直线l的方程为y=

x-4

或y=-x

+4

。
(Ⅲ)设P(m，n)，则OP中点为

，
因为O，P两点关于直线y=k(x-4)对称，
所以，

，
即

，解得：

，
将其代入抛物线方程，得：

，
所以，k²=1，
联立

，消去y，得
(b²+a²k²)x²-8k²a²x+16a²k²-a²b²=0，
由△=(-8k²a²)²-4(b²+a²k²)(16a²k²-a²b²)≥0，
得16a²k⁴-(b²+a²k²)(16k²-b²)≥0，
即a²k²+b²≥16k²，
将k²=1，b²=a²-1代人上式并化简，得 2a²≥17，所以

，
即2a≥

，
因此，椭圆C₁长轴长的最小值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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