如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

试题来源：江苏同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设M（y₀²，y₀），直线ME的斜率为k（k＞0），
则直线MF的斜率为﹣k
直线ME的方程为y﹣y₀=k（x﹣y₀²），
由

消去x得ky﹣y+y₀（1﹣ky₀）=0，
解得y_E=

，x_E=

同理可得yF=

，xF=

∴k_EF=

，
将坐标代入得k_EF=﹣

（定值）
所以直线EF的斜率为定值．
（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1
∴直线ME的方程为：y﹣y₀=x﹣y₀²，
由

得E（（1﹣y₀）²，1﹣y₀）
同理可得F（（1+y₀）²，﹣（1+y₀）），
设重心为G（x，y），
则有

代入坐标得

消去参数y₀得
y²=

x﹣

（x＞

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的标准方程及图象”。

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