已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=12x2+mx+72（m＜0）的图象也相切．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证：f(1+a)-f(2)＜

a-1

2

．

试题来源：淄博二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切
∴

y=x-1

y=

1

2

x2+mx+

7

2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合题意，舍去）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（x＞-1）
当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
所以，当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：当-1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
当0＜a＜1时，-1＜

a-1

2

＜0
∴f(1+a)-f(2)=ln

1+a

2

=ln(1+

a-1

2

)＜

a-1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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