已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N*）．（1）求a的值；（2）若数列{an}满足1an+1=f′(1an)，且a1=4，求数列{an}的通项公式；（3）对-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{a_n}，求证：a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3…）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知，可得f'（x）=2ax+b，
∴

b=2n

16n2a-4nb=0.

解之得a=

1

2

．
（2）∵

1

a

n+1

=

1

a

n

+2n，
∴

1

a

n+1

-

1

a

n

=2n．
由

1

a

2

-

1

a

1

=2×1

1

a

3

-

1

a

2

=2×2

1

a

4

-

1

a3

=2×3

1

a

n

-

1

a

n-1

=2(n-1)，
累加得

1

a

n

-

1

4

=n2-n（n=2，3）．
∴an=

1

n(n-1)+

1

4

=

4

(2n-1)2

（n=2，3）．
当n=1 时，

4

(2n-1)2

=4=a1
∴an=

4

(2n-1)2

（n=1，2，3）．
（3）当k=1时，由已知a₁=4＜5显然成立；
当k≥2时，ak=

1

k(k-1)+

1

4

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

（k≥2）
则a₁+a₂+a₃+…+a_k＜4+[(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)+… +(

1

k-1

-

1

k

)]=5-

1

k

＜5
综上，a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3）成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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